New PDF release: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper

By PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.)

ISBN-10: 3827430119

ISBN-13: 9783827430113

ISBN-10: 3827430127

ISBN-13: 9783827430120

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie. Auf der web site zum Buch stehen ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben bereit.

Die three. Auflage wurde vollständig durchgesehen und um ein Kapitel über freie Gruppen erweitert.

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2 Man gebe zu jeder Untergruppe U von S3 die Partitionen von S3 mit Links- bzw. Rechtsnebenklassen nach U an. Geben Sie Beispiele für U a = a U an. 3 Welche Ordnungen haben die Elemente A = 0 −1 1 ,B= 0 0 −1 1 −1 und A B aus GL2 (R)? 4 Sind die Quaternionengruppe Q und die Diedergruppe D4 isomorph? 6 Es sei G eine Gruppe der Ordnung n ∈ N. Zeigen Sie: | Aut G| ist ein Teiler von (n−1) !. 7 Es sei G eine Gruppe der Ordnung n ∈ N. Weiter sei m eine zu n teilerfremde natürliche Zahl. Zeigen Sie: Zu jedem a ∈ G existiert genau ein b ∈ G mit a = bm .

Rechtsnebenklasse von U . Speziell ist U = e U = U e Links- und Rechtsnebenklasse – e bezeichnet natürlich das neutrale Element der Gruppe G. Nebenklassen a U , b U können gleich sein, ohne dass deren sogenannte Repräsentanten a, b übereinstimmen. 7 Für jede Untergruppe U einer Gruppe G und Elemente a, b ∈ G gilt: (a) a U = U ⇔ a ∈ U . (b) a U = b U ⇔ a−1 b ∈ U . (c) a U ∩ b U = ∅ ⇔ a U = b U . 36 3 Untergruppen Beweis: (a) Falls mit einem u ∈ U auch a u = u in U liegt, so folgt a = u u−1 ∈ U .

H/ϕ(U ) . ϕ(a) ϕ(U ) = ϕ(a U ) Die Abbildung ψ ist surjektiv, da ϕ surjektiv ist, und ein Homomorphismus, da: ψ(a b) = ϕ(a b) ϕ(U ) = ϕ(a) ϕ(U ) ϕ(b) ϕ(U ) = ψ(a) ψ(b) für alle a, b ∈ G. Der Kern von ψ ist (∗) {a ∈ G | ϕ(a) ∈ ϕ(U )} = {a ∈ G | a ∈ ϕ−1 (ϕ(U )) = U } = U . 10 gilt H/ϕ(U ) ∼ = G/U .

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Algebra: Gruppen – Ringe – Körper by PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.)


by David
4.3

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