New PDF release: Analyse (Cours de mathematiques) (French Edition)

By Jean Marie Arnaudies

ISBN-10: 2040165010

ISBN-13: 9782040165017

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Example text

7(7)) genau die kompakten Teilmengen von IRn . Diese Eigenschaft wird im Folgenden wesentlich benutzt. Zusatz: Der Raum C 0 (S; Y ) l¨ asst sich allgemeiner auch f¨ ur kompakte topologische R¨ aume S definieren. Beweis. Jedes f ∈ C 0 (S; Y ) ist beschr¨ ankt, also in B(S; Y ): Denn zu x ∈ S gibt es wegen der Stetigkeit in x ein δx > 0 mit f Bδx (x) ⊂ B1 (f (x)). Die ¨ ur x ∈ S sind eine offene Uberdeckung von S. 7(7)), existieren endlich viele Punkte x1 , . . , xm ∈ S mit m S⊂ m Bδxi (xi ) , i=1 also f (S) ⊂ B1 (f (xi )) , i=1 1 Funktionenr¨ aume 41 was eine beschr¨ankte Menge in Y ist.

5 definierten p-Normen auf IKn sind paarweise zueinander ¨aquivalent, da f¨ ur 1 ≤ p < ∞ 1 |x|∞ ≤ |x|p ≤ n p |x|∞ . 8(1) erzeugen dieselbe Topologie im IKn , da f¨ ur y ∈ IKn |y| ≤ 2 (y) falls (y) ≤ metric Denn dann gilt B r 2 (x) ⊂ Bnorm (x) r ⊂ 1 2 (y) ≤ |y | . , Bmetric (x) r f¨ ur 0 < r ≤ 1. (3) F¨ ur offene Mengen U ⊂ IR ∪ {±∞} bzgl. 8(2) gilt x ∈ U ∩ IR ⇐⇒ ]x − ε, x + ε[ ⊂ U +∞ ∈ U ⇐⇒ ] 1ε , +∞] ⊂ U −∞ ∈ U ⇐⇒ [ − ∞, − 1ε [ ⊂ U f¨ ur ein ε > 0 , f¨ ur ein ε > 0 , f¨ ur ein ε > 0 . (4) F¨ ur offene Mengen U ⊂ IKn ∪ {∞} bzgl.

Ist dann f ∈ Lp (μ) und g ∈ Lp (μ), so ist f · g ∈ L1 (μ) mit f ·g L1 ≤ f Lp · g Lp . (1-10) Bemerkung: Da wir hier Produkte von Funktionen bilden, haben wir der Einfachheit halber nur skalarwertige Funktionen, also den Fall Y = IK betrachtet.

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Analyse (Cours de mathematiques) (French Edition) by Jean Marie Arnaudies

by Robert

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