Download PDF by Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer

By Otto Forster

ISBN-10: 383481251X

ISBN-13: 9783834812513

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren.

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Schwieriger ist das Problem, aus nicht-konvergenten Folgen konvergente Teilfolgen zu konstruieren. Die wichtigste Aussage in dieser Richtung ist der folgende Satz. Satz 6 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschr¨ankte Folge (an )n∈N reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis. a) Da die Folge beschr¨ankt ist, gibt es Zahlen A, B ∈ R mit A f¨ur alle n ∈ N. Die ganze Folge ist also in dem Intervall [A, B] := {x ∈ R : A x an B B} enthalten. Wir konstruieren nun durch vollst¨andige Induktion eine Folge von abgeschlossenen Intervallen Ik ⊂ R, k ∈ N, mit folgenden Eigenschaften: i) In Ik liegen unendlich viele Glieder der Folge (an ), ii) Ik ⊂ Ik−1 f¨ur k iii) 1, diam(Ik ) = 2−k diam(I0 ).

Beweis. 8). Da 0 = 1 = 12 , ergibt sich 1 > 0. 10) x>0 ⇐⇒ x−1 > 0 Beweis. 3). Die Umkehrung ‘⇐’ folgt aus ‘⇒’, angewendet auf x−1 , da (x−1 )−1 = x. 11) 0 y−1 § 3 Die Anordnungs-Axiome 23 Beweis. 10) auch (xy)−1 = x−1 y−1 > 0. d. Bemerkung. 3) gelten, heißt angeordneter K¨orper. R und Q sind angeordnete K¨orper. 2) steht. 9) widerspricht. Die naturlichen ¨ Zahlen als Teilmenge von R In jedem K¨orper gibt es die 0 und die 1. Um die weiteren nat¨urlichen Zahlen zu erhalten, kann man versuchen, einfach sukzessive die 1 zu addieren, 2 := 1+1, 3 := 2+1, 4 := 3+1, usw.

Mit den Begriffen aus der Linearen Algebra l¨asst sich Satz 7 abstrakt so interpretieren: Die konvergenten Reihen bilden einen Vektorraum u¨ ber dem K¨orper R, und die Abbildung, die einer konvergenten Reihe ihre Summe zuordnet, ist eine Linearform auf diesem Vektorraum. Bei konvergenten Folgen hatten wir auch eine einfache Aussage u¨ ber Produkte. Im Gegensatz dazu sind die Verh¨altnisse bei Produkten konvergenter Reihen viel komplizierter. Wir werden uns damit in §8 besch¨aftigen. 11) Unendliche Dezimalbr¨uche sind spezielle Reihen.

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Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, 10. Auflage by Otto Forster


by Jason
4.1

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