Download e-book for iPad: Analysis: Integralrechnung im ℝn mit Anwendungen by Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

ISBN-10: 3322915239

ISBN-13: 9783322915238

ISBN-10: 352827252X

ISBN-13: 9783528272524

Buchhandelstext
Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses f?r Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im R^n mit Anwendungen. In einem ersten Teil wird das Lebesguesche necessary im R^n eingef?hrt und es werden die wichtigsten S?tze dieser Theorie bewiesen. Als Anwendungen werden u.a. die Lp-R?ume und die Fouriertransformation behandelt. Als n?chstes wird der Gau?sche Integralsatz bewiesen, der dann zum Studium der Potentialgleichung und zur Konstruktion von Fundamental-L?sungen einiger anderer partieller Differentialgleichungen ben?tzt wird. In einem ?etzten Teil wird schlie?lich der Differentialformenkalk?l eingef?hrt. Dieser Teil enth?lt auch eine Theorie der Kurvenintegrale sowie den allgemeinen Stokesschen Integralsatz f?r Untermannigfaltigkeiten des R^n mit Anwendungen auf die Integrals?tze f?r holomorphe Funktionen einer und mehrerer Variablen.

Inhalt
Inhalt: necessary f?r stetige Funktionen mit kompaktem Tr?ger - Transformationsformel - Partielle Integration - vital f?r halbstetige Funktionen - Berechnung einiger Volumina - Lebesgue-integrierbare Funktionen - Nullmengen - Rotationssymmetrische Funktionen - Konvergenzs?tze - Die Lp-R?ume - Parameterabh?ngige Integrale - Fourier-Integrale - Die Transformationsformel f?r Lebesgue-integrierbare Funktionen - Integration auf Untermannigfaltigkeiten- Der Gau?sche Integralsatz - Die Potentialgleichung - Distributionen - Pfaffsche Formen. Kurvenintegrale - Differentialformen h?herer Ordnung - Integration von Differentialformen - Der Stokessche Integralsatz.

Zielgruppe
Studierende der Mathematik ab dem three. Semester

?ber den Autor/Hrsg
Professor Dr. Otto Forster lehrt am Mathematischen Institut der Universit?t M?nchen.

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An) =A . S(O, el> ... , en), wobei A die n X n-Matrix mit den Spalten al> ... , an ist. Nach Satz 2 gilt also Vol(S(O, al> ... ,an )) 1 =.. Idet(al' ... ,an)l, n. d. 7) Beispiel: Volumen der n-dimensionalen Kugel Wir bezeichnen mit Kn(r):= {xEIRn : IIxll ~r} die n-dimensionale abgeschlossene Kugel mit Radius r Vol(Kn(r)) ~ 0. 4) gilt = r n Vol(Kn (1)); es genügt also, das Volumen 7n := Vol (Kn (1)) der n-dimensionalen Einheitskugel zu berechnen. Da K 1 (1) = [ -1, 1] C IR, folgt 71 = 2. Für n > 1 flihren wir mittels Satz 3 die Berechnung von 7 n auf die von 7 n _ 1 zurück.

Im f fv(x)dx = f f(x)dx. v~oo Beweis. Für alle v E IN gilt Supp(fv) C Supp(fo) U Supp(f). Die Behauptung folgt deshalb aus dem Satz von Dini und § 1, Hilfssatz 1. Bemerkung. Eine analoge Aussage gilt natürlich auch for monoton fallende Funktionenfolgen. h. fv ~fv + 1 für alle v E JN. Für jedes xE IRn ist dann (fv (x»v E IN eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen, die entweder gegen eine reelle Zahl oder uneigentlich gegen 00 konvergiert. im fv(x), v -+ co so erhält man eine Abbildung f: IRn ~ IR U {co}.

D. 1) Beispiel: Volumen eines Quaders. Sei [a, b] eR ein kompaktes Intervall (a ~ b reelle Zahlen). 1) gilt Voll ([a, b]) = b -a. Daraus folgt mittels Satz I durch Induktion über n für das Volumen des Quaders Q := {(Xl> ... , x n) E JRn: ai ~ Xi ~ bi }, Voln(Q) = (ai ~ bi), n (bi -ai)· n i =1 Dies ist genau der elementargeometrische Inhalt von Q. 48 § 5. 2) Beispiel: Volumen eines Zylinders. Sei B C lRn - 1 eine kompakte Menge. Unter dem n-dimensionalen Zylinder mit Basis B und Höhe h ~ verstehen wir die Menge ° Z :=BX [O,h]ClRn .

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by Kevin
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